MATRIKS DAN OPERASI MATRIKS

MATRIKS DAN OPERASI MATRIKS

1.1.Notasi dan Terminologi Matriks

Definisi :

Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil atau kompleks) yang disusun / dijajarkan secara empat persegi panjang (menurut baris-baris dan kolom-kolom).

Skalar-skalar itu disebut elemen matriks.

Untuk batasnya kita berikan:

 atau  atau

Baris 1

Contoh :

Baris 3 2232221

Baris 2 2232221

                

4

2

3

1 1 1 1 1 1

kolom

Matriks sering digunakan baik dalam matematika maupun dalam kehidupan sehari hari, misalnya daftar gaji pegawai, rekening pembayaran telepon, listrik, air, data absensi siswa, data program komputer.

Notasi Matriks

Matriks kita beri nama dengan huruf besar A,B,P,C, dan lain-lain.

Secara lengkap ditulis matriks A =( )  artinya suatu matriks A yang elemen-elemennya .  menyatakan baris ke-i dan klom ke- j dari matriks A.

Bentuk umum

A =               banyak baris = m, banyak kolom = n

Sebuah matriks A dengan n baris dan n kolom disebut matriks bujur sangkar berorde n, dan elemen-elemen a_11, a_22, ..., a disebut sebagai diagonal utama dari A.

Contoh Soal

Diketahui matriks P ( ) =

Berapa ukuran P?

Tentukan yang mana:

Baris 1, kolom ke 2, diagonal utama, dan baris 3?

1.2.Operasi Matriks

Definisi:

Dua matriks didefinisikan sama jika keduanya mempunyai ukuran yang sama dan entri-entrinya yang berpadanan sama.

Contoh:

A =     B =                        C=

Kesimpulan     B = C

                        A ≠ C

                        A ≠ B

a.      Penjumlahan dan Pengurangan Matriks (berlaku umntuk matriks-matriks berukuran sama)

Definisi:

Jika A dan B adalah matriks-matriks berukuran sama, maka jumlah A + B adalah matriks yang diperoleh dengan menambahkan entri-entri B dengan entri-entri A yang berpadanan, dan selisih A-B adalah matriks yang diperoleh dengan mengurangkan entri-entri A denmgan entri-entri B yang berpadanan. Matriks-matriks berukuran berbeda tidak dapat ditambahkan atau dikurangkan.

Dalam notasi matriks, jika A=  dan B=  mempunyai ukuran yang sama , maka

 dan

Contoh perjumlahan matriks

   

Maka

  dan

Ekspresi A+B,B+C,A-B,B-C tidak terdefinisi.

Definisi :

Jika A adalah sembarang matriks dan c adalah sembarang skalar,maka hasil kali cA adalah matriks yang diperoleh dengan mengalihkan setiap anggota A dengan c.
Dalam notasi matriks , jika A = ( )  , maka
(cA)_ij = c(A)_ij = Ca_ij

Contoh:
A =  B =  C =
kita dapatkan
3A =                    -2B = c =

Jika A_1,A_{2, ...,} A_n adalah matriks-matriks berukuran sama dan c_1,c_{2, ...,}c_n  adalah skalar, maka sebuah ungkapan berbentuk :

                                              c₁A₁ +c₂A₂+ ... +c_nA_n

Disebut kombinasi linier dari A_1,A_{2, ...,} A_n  dengan koefisien-koefisien c_1,c_{2, ...,}c_n

Misalkan pada contoh :

3A – 2B + c = -  +  =

Contoh :

A =                             B =

Matriks A berukuran 2 x 3 dan B berukuran 3 x 4, maka AB = berukuran 2 x 4

   

(2∙2) + (6∙0) + (4∙4) = 20

(2∙7) + (6∙-1) + (4∙1) = 12

(2∙5) + (6∙3) + (4∙4) = 44

(2∙2) + (6∙1) + (4∙3) = 22

(1∙2) + (2∙0) + (0∙4) = 2

(1∙7) + (2∙-1) + (0∙1) = 5

(1∙5) + (2∙3) + (0∙4) = 11

(1∙2) + (2∙1) + (0∙3) = 4

Sehingga hasil dari A∙B dapat kita ketahui =

Definisi : jika A adalah sebuah matriks m x r dan B adalah sebuah matriks r x n maka hasil kali AB adalah m x n yang anggota- anggotanya didefinisikan sebagai berikut: untuk mencari anggota dalam baris i dan kolom j ada AB pilih baris satu pada matriks A dan kolom j pada matriks B, lalu kalikan anggota-anggota yang berpadanan dari baris dan kolom secara bersama-sama kemudian jumlahkan hasil kalinya.

Syarat perkalian matriks yaitu, jumlah kolom matriks pertama sama dengan jumlah baris matriks kedua. Jika syarat ini tidak terpenuhi, maka hasil kalinya tidak terdefinisi.

Matrik A = m x r

Matrik B = r x m

Maka hasil kali AB = m x r

Contoh: A = 2 x 4 ,                               B = 4 x 3 ,                       C = 2 x 2

Dari contoh diatas, dapat di ketahui AB,CA,terdefinisi dan BA, BC,AC tidak terdefinisi

1.3.Mariks- Mariks Terpartisi

Sebuah matriks dapat dibagi atau di partisi menjadi matriks- matriks yang lebih kecil dengan menyelipkan garis horizontal dan vertikal diantara baris dan kolom yang ditentukan. Misalnya, dibawah ini terdapat tiga partisi yang munkin dari sebuah matriks umum A, 3 x 4,--- pertama adalah sebuah partisi A menjadi empat submatriks  ; kedua adalah sebuah parisi A menjadi matriks matriks baris ; dan keiga adalah partisi A menjadi matriks matriks kolom :

 =

 =

1.4. Perkalian Matriks Dengan Kolom dan Dengan Baris

Matriks kolom ke-j dari AB = A                        (3)

Matriks baris ke-i dari AB =                           (4)

Contoh :

           

Jika A dan B adalah matriks matriks diatas, maka matriks kolom kedua dari AB dapat diperoleh dari (3) dengan perhitungan

Dan dari (4) matriks baris pertama dari AB dapat diperoleh dengan perhitungan

 

1.5. Hasil Kali Matriks Sebagai Kombinasi Linier

Matriks –matriks baris dan kolom memberikan suatu cara berfikir alternatif mengenai perkalian matriks. Misalnya, anggap bahwa

 dan

Maka

Dengan matriks diatas diperoleh bahwa hasil kali Ax dari sebuah matriks A dengan sebuah matriks kolom x adalah sebuah kombinasi linier dari matriks matriks kolom dari A dengan koefisien koefisien yang berasal dari matriks x.

Contoh :

 

Matriks matriks kolom AB dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari matriks matriks kolom A sebagai berikut:

1.6.Bentuk Matriks dari Suatu Sistem Linier

Perkalian matriks mempunyai suatu penerapan penting pada sistem persamaan linear.Tinjau sembarang sistem persamaan linear m dalam n peubah.

karena dua matriks adalah sama jika dan hanya jika elemen – elemennya yang berpadanan sama, maka kita dapat menggantikan persamaan persamaan m dalam sistem ini dengan persamaan matriks tunggal.

  = 

Matriks m x 1 pada ruas kiri persaman ini dapat ditulis sebagai suatu hasil kali untuk menghasilkan

 

Jika kita menandai matriks matriks ini masing masing dengan A, x danb sistem persamaan hasil m dalam n peubah telah digantikan oleh persamaan matriks tunggal

Ax = b

Matriks A dalam persamaan ini disebut matriks koefisien dari sistem tersebut.

1.7. Transpos Suatu Matriks

Definisi:

jika A adalah sembarang matriks  m x n , maka transpos  A, dinyatakan dengan  , didefinisikan sebagai matriks  n x m yang didapatkan dengan mempertukarkan baris dan kolom dari A ; yaitu , kolom pertama dari  adalah baris pertama dari A, kolom kedua dari  adalah baris kedua dari A, dan seterusnya.

Contoh  Matriks dan Transposnya :

   B =    C =  D =

                            

Maka
Amati bahwa tidak hanya Kolom dari   menjadi baris dari  A, tetapi baris dari  juga menjadi kolom dari  A. Jadi, entri dalam baris  i dan kolom  j dari  adalah entri dalam baris  j dan kolom i dari A; yaitu,

                (  ) ij  = ( A ) ji

Perhatikan kebalikan dari subscriptnya.

Dalam kasus khusus di mana A adalah suatu matriks bujur sangkar, transpos  A dapat diperoleh dengan mampertukarkan entri – entri yang secara simetris diletakkan di seputar diagonal utama. Dengan kata lain ,  dapat diperoleh dengan kata lain, dapat diperoleh dengan “ mencerminkan “ A terhadap diagonal utamanya.

A =            →         =

1.8.Trace Suatu Matriks Bujur Sangkar

Definisi:.  Jika A adalah  suatu  matriks bujur  sangkar, maka trace  A , dinyatakan  dengan  tr ( A ), didefinisikan  sebagai  jumlah  entri- entri  pada diagonal  utama  A. Trace A  tidak terdefinisi  jika A bukan  matriks bujur sangkar.

Contoh  matriks dan  trace

A =           B =

tr (A) = +  +                    tr (B) = 1+5+7=13

1.9.Soal Latihan

1.     

Tentukan ?

DAFTAR PUSTAKA

Anton,Howard.       .Dasar-dasar aljabar linier. Binarupa aksara publisher.Tangerang

Suryadi dkk. 1986. Teori dan soal pendahuluan aljabar linier.Ghalia indonesia. Jakarta.

Daiman, E. 1994. Matematika 2 untuk SMU kelas 2.Ganeca exact.Bandung.